Окружная скорость формула через число оборотов

Содержание

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Угловая скорость: 4 главных формулы

Иногда применительно к автомобилям всплывают вопросы из математики и физики. В частности, одним из таких вопросов является угловая скорость. Она имеет отношение как к работе механизмов, так и к прохождению поворотов. Разберёмся же, как определить эту величину, в чём она измеряется и какими формулами тут нужно пользоваться.

Вращательное движение (Движение тела по окружности)

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α

Движение точки по окружности. Линейная и угловая скорости точки. Центростремительное ускорение точки

blank

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости.

Движение по окружности.

Положение точки А, движущейся по окружности с постоянной по модулю скоростью v в любой момент времени t определяется углом φ между осью OX и радиус-ветором :

Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости:

Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с -1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку:

  • Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с-1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью :

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

    • где: φ – угол, ω – угловая скорость

    Нормальное (центростремительное) ускорение: /> характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор />всегда направлен к центру окружности, выражается так:

    • Нормальное (центростремительное) ускорение: характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор всегда направлен к центру окружности, выражается так

    Период обращения (вращения) [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то:

    • Период обращения [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то

    Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с -1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду:

    • Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с-1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду

    Связь линейной и угловой скоростей между собой и с периодом обращения:

    Основные понятия

    Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

    Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

    Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

    Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .

    Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

    Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

    В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

    Основные понятия

    Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

    Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть
    рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
    рисунка 1 ).

    Как определить угловую скорость: что это за величина?

    С физико-математической точки зрения эту величину можно определить следующим образом: это данные, которые показывают, как быстро некая точка осуществляет оборот вокруг центра окружности, по которой она движется.

    Эта, казалось бы, чисто теоретическая величина, имеет немалое практическое значение при эксплуатации автомобиля. Вот лишь несколько примеров:

    • Необходимо правильно соотносить движения, с которыми вращаются колёса при повороте. Угловая скорость колеса автомобиля, движущегося по внутренней части траектории, должна быть меньше, чем у внешнего.
    • Требуется рассчитывать, насколько быстро в автомобиле вращается коленвал.
    • Наконец, сама машина, проходя поворот, тоже имеет определённую величину параметров движения – и от них на практике зависит устойчивость автомобиля на трассе и вероятность опрокидывания.

    Угловая скорость.

    Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1 ).

    Рис. 1. Равномерное движение по окружности

    Пусть – начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

    Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

    Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

    Сопоставляя формулы (1) и (3) , получаем связь линейной и угловой скоростей:

    Алгоритм решения задач на движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

    1. Изображение тела.
    2. Отображение всех сил, действующих на тело. Прикладывать их следует к центру тела. На чертеже также указывается направление центростремительного ускорения.
    3. Выбор системы координат. Ее начало должно совпадать с центром тела. Желательно, чтобы одна из ее осей совпадала с направлением ускорения, а другая была бы перпендикулярна ей.
    4. Построение проекций сил на оси ОХ и ОУ.
    5. Выражение искомой величины через известные данные.
    6. Вычисление путем подстановки в формулу, выведенную для нахождения искомой величины, известных данных.

    Вращательное движение, характеристики

    Вращательное движение Угловая скорость Угловое ускорение
    Равномерное Постоянная Равно нулю
    Равномерно ускоренное Изменяется равномерно Постоянно
    Неравномерно ускоренное Изменяется неравномерно Переменное

    Период, частота и количество оборотов

    Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

    Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

    t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

    За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

    Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

    N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

    Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

    Количество оборотов выражается следующей формулой:

    Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

    Закон равнопеременного вращения

    Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным ( ε = c o n s t ) .

    Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t 0 угол вращения равен ϕ = ϕ 0 ; угловая скорость – ω = ω 0 (т.е. ω 0 является начальной угловой скоростью).

    Выражение ε = d ω d t = ω ˙ = φ ¨ дает нам возможность сделать запись: d ω = ε d t . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω 0 до ω , а правую – в пределах от 0 до t , тогда:

    ω = ω 0 + ε t , d φ = ω 0 d t + ε t d t .

    Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

    Закон равнопеременного вращения: φ = φ 0 + ω t + ε t 2 2 .

    Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

    Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

    Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R , тогда: α r = ε R . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: a n = ω 2 R . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 Для равнопеременного движения: ω = ε t ; a n = ω 2 R = ε 2 t 2 R и a = R ε 2 + ε 4 t 4 = R ε 1 + ε 2 t 4 .

    Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса

    Для того, чтобы рассчитывать угловую скорость, используется следующая формула:

    • ω (читается «омега») – собственно вычисляемая величина.
    • ∆φ (читается «дельта фи») – угол поворота, разница между угловым положением точки в первый и последний момент времени измерения.
    • ∆t
      (читается «дельта тэ») – время, за которое произошло это самое смещение. Точнее, поскольку «дельта», это означает разницу между значениями времени в момент, когда было начато измерение и когда закончено.

    Приведённая выше формула угловой скорости применяется лишь в общих случаях. Там же, где речь идёт о равномерно вращающихся объектах или о связи между движением точки на поверхности детали, радиусом и временем поворота, требуется использовать другие соотношения и методы. В частности, тут уже будет необходима формула частоты вращения.

    Угловая скорость измеряется в самых разных единицах. В теории часто используется рад/с (радиан в секунду) или градус в секунду. Однако эта величина мало что означает на практике и использоваться может разве что в конструкторской работе. На практике же её больше измеряют в оборотах за секунду (или минуту, если речь идёт о медленных процессах). В этом плане она близка к частоте вращения.

    Закон движения.

    Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1 , что

    Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

    Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

    Самые популярные записи

    • blankСвобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (1 232)
    • blankЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (1 178)
    • blankНаука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (1 176)
    • blankОбъединение русских земель вокруг Москвы. Создание единого Русского государства (1 078)

    Единицы измерения величины

    В международной системе общепринятых единиц (СИ) для характеристики поворотов принято использовать радианы. Поэтому 1 рад/с – основная единица, которая используется в расчетах угловой скорости. В то же время никто не запрещает применять градусы (напомним, что один радиан равен 180/пи, или 57˚18’). Также угловая скорость может выражаться в числе оборотов за минуту или за секунду. Если перемещение по окружности происходит равномерно, то данная величина может быть найдена по формуле (2):

    где n – частота вращения.

    В противном случае подобно тому, как это делают для обычной скорости, рассчитывают среднюю, или мгновенную угловую скорость. Следует отметить, что рассматриваемая величина является векторной. Для определения ее направления обычно используют правило буравчика, которое часто применяется в физике. Вектор угловой скорости направлен в ту же сторону, в которую происходит поступательное движение винта с правой резьбой. Другими словами, он устремлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против движения часовой стрелки.

    вектор угловой скорости

    Линейная и угловая скорости

    Линейная скорость

    Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

    l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

    Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

    R — радиус окружности, по которой движется тело

    Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

    Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

    Угловая скорость

    Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

    ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

    Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

    За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

    Выражая угловую скорость через частоту, получим:

    Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

    Сравним две формулы:

    Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

    Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

    • У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v1 = v2.
    • У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v1 = v2.
    • Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T1 = T2, ν1 = ν2, ω1 = ω2. Но v1 ≠ v2.

    Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

    В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

    За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

    Практические примеры

    На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

    Практические примеры

    Решение

    Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2 . 1 . и 2 . 3 . показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2 . 2 . и 2 . 4 . – вниз.

    Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2 . 1 . и 2 . 4 . ). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2 . 2 . и 2 . 3 . ). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

    Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

    Решение

    Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

    ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

    Полное ускорение запишем как:

    a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

    Угол поворота и период обращения

    Гораздо более часто, чем угол поворота, используется частота вращения, которая показывает, сколько оборотов делает объект за заданный период времени. Дело в том, что радиан, используемый для расчётов – это угол в окружности, когда длина дуги равна радиусу. Соответственно в целой окружности находится 2 π радианов. Число же π – иррациональное, и его нельзя свести ни к десятичной, ни к простой дроби. Поэтому в том случае, если происходит равномерное вращение, проще считать его в частоте. Она измеряется в об/мин – оборотах в минуту.

    Если же дело касается не длительного промежутка времени, а лишь того, за который происходит один оборот, то здесь используется понятие периода обращения. Она показывает, как быстро совершается одно круговое движение. Единицей измерения здесь будет выступать секунда.

    Связь угловой скорости и частоты вращения либо периода обращения показывает следующая формулы:

    ω = 2 π / T = 2 π *f,

    • ω – угловая скорость в рад/с;
    • T – период обращения;
    • f – частота вращения.

    Получить любую из этих трёх величин из другой можно с помощью правила пропорций, не забыв при этом перевести размерности в один формат (в минуты либо секунды)

    Центростремительное ускорение.

    Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5) :

    С учётом формул (5) имеем:

    Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

    где – радиус-вектор вращающейся точки.

    Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1 ). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

    Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

    Выразим угловую скорость из (4)

    и подставим в (8) . Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

    Помощь

    © 2021 StudyWay. Все права защищены.

    Чему равна угловая скорость в конкретных случаях?

    Приведём пример расчёта на основе приведённых выше формул. Допустим, имеется автомобиль. При движении на 100 км/ч его колесо, как показывает практика, делает в среднем 600 оборотов за минуту (f = 600 об/мин). Рассчитаем угловую скорость.

    Для начала переведем об/мин в об/с. Для этого разделим 600 на 60 (число секунд в минуте) и получим 10 об/с . Попутно мы получили и период обращения: эта величина является обратной по отношению к частоте и при измерении в секундах 0,1 с.

    Далее используем формулу:

    Поскольку точно выразить π десятичными дробями невозможно, результат примерно равен будет 62,83 рад/с.

    Связь угловой и линейной скоростей

    На практике часто приходится проверять не только ту скорость, с какой изменяется угловое положение у вращающейся точки, но и скорость её самой применительно к линейному движению. В приведённом выше примере были сделаны расчёты для колеса – но колесо движется по дороге и либо вращается под действием скорости автомобиля, либо само ему эту скорость обеспечивает. Значит, каждая точка на поверхности колеса помимо угловой будет иметь и линейную скорость.

    Рассчитать её проще всего через радиус. Поскольку скорость зависит от времени (которым будет период обращения) и пройденного расстояния (которым является длина окружности), то, учитывая приведённые выше формулы, угловая и линейная скорость будут соотноситься так:

    • V – линейная скорость;
    • R – радиус.

    Из формулы очевидно, что чем больше радиус, тем выше и значение такой скорости. Применительно к колесу с самой большой скоростью будет двигаться точка на внешней поверхности протектора (R максимален), но вот точно в центре ступицы линейная скорость будет равна нулю.

    Ускорение, момент и связь их с массой

    Помимо приведённых выше величин, с вращением связано ещё несколько моментов. Учитывая же, сколько в автомобиле крутящихся деталей разного веса, их практическое значение нельзя не учесть.

    Равномерное вращение – это важная вещь. Вот только нет ни одной детали, которая бы всё время крутилась равномерно. Число оборотов любого крутящегося узла, от коленвала до колеса, всегда в конечном итоге растёт, а затем падает. И та величина, которая показывает, насколько выросли обороты, называется угловым ускорением. Поскольку она производная от угловой скорости, измеряется она в радианах на секунду в квадрате (как линейное ускорение – в метрах на секунду в квадрате).

    С движением и её изменением во времени связан и другой аспект – момент импульса. Если до этого момента мы могли рассматривать только чисто математические особенности движения, то здесь уже нужно учитывать то, что каждая деталь имеет массу, которая распределена вокруг оси. Он определяется соотношением начального положения точки с учётом направления движения – и импульса, то есть произведения массы на скорость. Зная момент импульса, возникающий при вращении, можно определить, какая нагрузка будет приходиться на каждую деталь при её взаимодействии с другой

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Егор Новиков
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий